两天前脑子一热，觉得对数在生活中其实蛮重要的，于是胡思乱想一通，写了一篇。再后来受到很多同学的启发，将文章扩充了，拿到《新发现》充一篇专栏。

有人提出，我说的对数不是绝对的，他可以把对数本身定为线性。这话说得也对也不对。对的原因是你的确可以想干什么就干什么，不对的原因是自然界本身有它的法则，有一些自然的单位，不是你想干什么别人就同意你干什么。举例来说，物理中的最自然的东西就是长度量纲和时间量纲。时间量纲最容易定义，我们可以认为某种运动是周期的，那么取一个周期做单位，比方说某个运动的周期叫秒，然后N个周期的时间就叫N秒。长度单位我们通常喜欢用某个刚体做单位，比方说一米，N个刚体成一个直线就叫N米。或者，像爱因斯坦那样，用光来制定长度：光跑了N秒就叫N光秒。结果是什么呢？物理定律告诉我们，两种制定长度的结果是相同的。所以，我们觉得这样制定出来的单位是“自然”的。

亮度也是如此，拿一个“标准蜡烛”来，我们说N个标准蜡烛一同发出的光的亮度是N个单位，而不是个标准蜡烛发出的光是N个单位。我上一篇博文只是指出，指数上的N虽然不是亮度的自然单位，却是人的眼睛感受到的自然量度。注意到，在指数上的因子通常没有任何量纲。

通常，我们取一个有量纲的数的对数是没有意义的，因为这个数有量纲，数值不确定。例如L是一个长度，就没有定义，但就有定义，因为两个长度之比没有量纲，其中可以是一米，也可以是一公里或一光年，等等。

我们这个世界很有意思，很多东西都有量纲。在物理学中，我们会说描述我们世界的理论不是标度不变的。在一个真正标度不变的理论中，没有带量纲的物理量，也就是说，你说一米没有任何意义，因为比一米小一百倍尺度上的现象和一米尺度上的现象完全类似。

有意思的是，物理学中有些理论虽然不是标度不变的，但却可以通过表面上是标度不变的理论来定义，强相互作用就是一个例子。我们知道，强相互作用的理论是Yang-Mills理论。在最简单的Yang-Mills理论中，只有一个没有量纲的耦合常数，我们很难通过这个常数构造出任何有量纲的数来。但是，量子力学要求，耦合常数不完全是一个常数，它会“跑动”，两个不同尺度上的耦合常数相差一个因子，这个因子正好是一个对数！这个对数是什么？是两个尺度之比的对数。数学上，上面说的现象可以写成

我们看到，如果b是正的，那么尺度越小，耦合常数越小。虽然原来的理论中没有一个长度量纲，我们现在可以规定，当耦合常数等于1时，这个尺度是一个长度量纲，这个长度量纲有绝对的意义，因为当尺度小一百倍时，物理现象是完全不同的，耦合常数小了一个因子。这个现象叫量纲嬗变（dimensional transmutation）。

在强相互作用中，耦合常数大约是1的尺度叫QCD尺度，大约是200 Mev左右。有人问了，既然你拿这个尺度做单位，那么Mev这个单位怎么来的？这个单位来自于强相互作用之外，例如电子的质量大约是0.5Mev，所以，用电子的质量做尺度，强相互作用的能量标度是几百倍。

过去有人相信，弦论是一个“准标度不变”的理论。弦论肯定不是标度不变的，因为我们总可以拿最轻的那个有质量的弦的激发态做单位能量。看上去，除了这个单位外，弦论中其余的物理学常数都是无量纲的，并且这些“常数”在严格的意义上都不是常数，是由一些标量场的动力学所决定的。但是，到现在为止，我们似乎还不知道如何用动力学来计算这些常数。举例来说，前面谈到的强相互作用的耦合常数在弦论中应该是动力学决定的，换言之，那个强相互作用能量标度相对弦的能量标度来说应该是动力学决定的。

回到我上篇文章谈到的话题，那么，人类五感所感知的一些“基本”单位如何决定的呢？例如，我们能听到的最低的声音亮度如何决定的？这是一个很复杂的问题，既涉及到物理的基本常数或量纲，也涉及到环境。

人类和基本物理常数有关是明显的，因为我们是由电子、质子和中子构成的，这些粒子的质量以及电磁相互作用的强度决定了生物的很多东西。同时，我们生活在地球上，我们感受到地球的重力，从而，我们的身高等等又和地球的重量以及牛顿引力常数有关。地球的重量和引力常数还决定了其他环境因素，例如空气密度，后者又会影响一切生物。所以，人能感受到的基本单位是个非常复杂的动力学的问题。

但是，我觉得对数律却不一定那么复杂。例如，一旦我们能够听到的最小的声音决定了，那么通过对数律我们能够决定听觉的其余物理。对数律有点类似上面那个量纲嬗变公式，我们将用感受度代替，而长度用声音的大小代替，对数律就能写成那样的公式。毫无疑问，在这个对数律中，b是最重要的量，这个无量纲量决定了对数的基底。计算b是心理学或者人类学的终极目标之一。